Drehtürmodell

Matthias Macsek (5A) hat sich im Rahmen des Drehtürmodells mit mathematischen Aufgaben beschäftigt, die über den Rahmen der üblichen Schulmathematik hinausgehen. Die Betreuung erfolgte durch Dr. August Mistlbacher. Diese Beispiele enthalten mathematische Aussagen und Begriffe, sowie Lösungsmethoden, die sich Matthias erst einmal aneignen musste, um sich überhaupt zurechtfinden zu können.

Im Folgendem hat Matthias ein Beispiel als Illustration ausgewählt, welches den Begriff „Kongruenz“ enthält. Man soll zeigen, dass der Term niemals ein Vielfaches der Zahl 5 ergeben kann, ganz egal, welche natürliche Zahl n man wählt. Etwas mathematischer formuliert:

Beweis:

Man beweist dies mit Zuhilfenahme von Kongruenzen:
Wenn man 5 durch 4 (mod4) teilt so bleibt 1 Rest.
Mit solchen Kongruenzen lässt sich auch rechnen:
Teilt man 20 durch 4 so erhält man 4 Rest!

zum Beweis:soll für keine natürliche Zahl r richtig sein.

Dies ist der Fall, wenn bei der Division des 1.Termes durch 5 0Rest bleibt.

das heißt:

Wir zerlegen den Term:und beginnen mit :



(Man dividiert 16 weiter)

Daher ergibt sich, dass (2k ist in jedem Fall eine gerade Zahl)

Für gerade Zahlen gilt:

Weiterhin ergibt sich, dass !
! (2k+1 ist in jedem Fall eine ungerade Zahl)

Für ungerade Zahlen gilt:
12:5=2 und 2Rest !!
Jetzt betrachten wir den 2.Term:


n kann kongruent zu	0 1 2 3 4 (mod5) sein
ist daher kongruent zu	0 1 1 1 1 (mod5)
ist kongruent zum 4-fachen	0 4 4 4 4 (mod5) sein



Fügt man nun beide Terme zusammen, so ergibt sich (man listet alle Fälle auf):


kongruent zu

Nachdem nie kongruent 0 sein kann, gibt es keine natürliche Zahl r, sodass diese Gleichung eine wahre Aussage hat. Der Satz ist daher bewiesen!