Themen der 8.Klasse naturwissenschaftliches ORG

1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
2. Differentialgleichungen
3. Wachstumsprozesse
4. Wiederholungsbeispiele

Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Für ein Omelett werden drei Eier benötigt. Unter den zehn Eiern im Kühlschrank sind drei Eier faul. Es sei X die Anzahl der ausgewählten Eier, die in Ordnung sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit, das diese Anzahl gleich null, eins, zwei bzw. drei ist.
   
Bei einer Impfung zeigt im Mittel eine von 1000 Personen eine Gegenreaktion. Es werden 2000 Personen geimpft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehr als zwei Personen eine Gegenreaktion auftritt. Rechne zuerst exakt und anschließend näherungsweise mit Hilfe einer geeigneten Poissonverteilung.


In einer Telefonzentrale treffen durchschnittlich pro Minute 5 Anrufe ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 15 Minuten genau 80 Anrufe getätigt werden?

Differentialgleichungen

Löse die Differentialgleichungmit


Ein Kondensator und ein ohmscher Widerstand sind in Serie geschaltet. Es wird eine Eingangsspannungangelegt. Für die Stromstärkegilt die Gleichung . Bestimme die allgemeine Lösung dieser Gleichung!


Eine Feder () mitwird 9,5cm gedehnt und dann (zum Zeitpunkt null) losgelassen. Der Reibungskoeffizient beträgt. Auf die Feder wirkt eine äußere periodische Kraft, die durchbeschrieben werden kann. Stelle die Differentialgleichung für die Elongation der Feder auf und löse sie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen. Zeichne die Lösungsfunktion für einen Zeitraum von 10 Sekunden.


Löse die Differentialgleichungmitund

Wachstumsprozesse

Die Ozonkonzentration in der Atmosphäre betrug 1996 130 Dobson und 2001 nur mehr 100 Dobson.
a)Beschreibe die Entwicklung der Ozonkonzentration durch ein lineares und ein exponentielles Modell und erkläre die Bedeutung der Modellparameter.
b)Angenommen, die Ozonkonzentration nimmt ab dem Jahr 2001 jährlich um 6 Dobson ab,durch weltweite Umweltmaßnahmen kann diese Abnahme jedoch um 3% des Vorjahreswertes gebremst werden. Stelle eine Differenzengleichung für die Ozonkonzentration ab dem Jahr 2001 auf und ermittle ihre Lösungsfunktion.
c)Skizziere die drei Modelle für den Zeitraum 2001 bis 2010 und berechne die mittlere Ozon- konzentration für diesen Zeitraum mit Hilfe der unterschiedlichen Modelle.

Wiederholungsbeispiele

Die Anziehungskraft F(x) zweier Körper mit den Massen M und m und einem Abstand x ist durch das Gravitationsgesetzgegeben. Ein Satellit mit einer Masse von 5000kg wird in eine Umlaufbahn geschossen, die sich 7000km über der Erdoberfläche befindet. Berechne die notwendige Hebearbeit mit Hilfe einer Riemann-Summe und erläutere diese durch eine Skizze. Um wie viel Prozent wäre die Hebearbeit größer, wenn es sich um eine Raumsonde handelt, die zum Mars geschickt wird?


Der Punkt liegt auf der Parabel. Berechne die Gleichung der Tangente t im Punkt P an die Parabel. Berechne die Fläche, die von der Parabel, der Tangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird. Bestimme weiters das Volumen, das entsteht, wenn diese Fläche um die y-Achse rotiert.


Für ein Fertigteilhaus im Wert von 175 000€ werden folgende Finanzierungsmöglichkeiten überlegt: a) 80 000€ Anzahlung und 10 nachschüssige Jahresraten zu je 15 000€.
b) Ein Darlehen mit einem Zinssatz von 6%, welches in gleichen Monatsraten innerhalb von 20 Jahren bezahlt wird.
Vergleiche beide Varianten in Bezug auf Zinssatz und Zinsbelastung.


Ein Wasserbehälter hat die Form eines halben Drehellipsoids und hat oben eine maximale Länge von 8m. Seine maximale Tiefe beträgt 2m. Wie groß ist die Arbeit, die notwendig ist, um das Wasser auszupumpen, wenn die Pumpe am oberen Rand des Behälters steht, erläutere die auftretende Riemann-Summe durch eine Skizze!