8. Klasse

1. Exponentialfunktionen
2. Flächenberechnungen
3. Riemannsummen
4. Differentialgleichungen
5. Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Exponentialfunktionen

1. Diskutiere die gedämpfte aperiodische Bewegung, die durch die Funktion beschrieben wird und zeichne den Graphen.
   

2. Flächenberechnungen

1. Gegeben sind die Kurven und
   a) Berechne die Schnittpunkte S₁ und S₂ und mache eine Skizze.
   b) Berechne die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird.
   
   
2. Ein Polynom f 3.Grades hat in H(-1/3) einen Hochpunkt und in W(0/1) einen Wendepunkt. Die Funktion f berührt in ihrem Wendepunkt die Funktion , deren Scheitelpunkt an der x = -1 Stelle liegt.
   a) Bestimme die Gleichungen der Funktionen f und g.
   b) Berechne den Flächeninhalt, den die beiden Funktionen miteinander einschließen.
   

3. Riemannsummen

1. Betrachte die Funktion auf dem Intervall [1;3]
   a)Teile das Intervall in n=2 Teilintervalle und berechne die Untersumme s₂ und die Obersumme S₂.
   b)Teile das Intervall in n=10 Teilintervalle und berechne die Untersumme s₁₀ und die Obersumme S₁₀.
   c)Erkläre den Zusammenhang zwischen den Unter- bzw. Obersummen und dem bestimmten Integral .
   d) Zeige, dass eine Stammfunktion von f(x) ist, und berechne damit den genauen Wert des bestimmten Integrals .
   e) Erkläre die Begriffe unbestimmtes Integral und bestimmtes Integral.
   
   
2. Das Flächenstück, das von den Kurven und begrenzt wird, rotiert um die x-Achse Berechne das Volumen des Rotationskörpers und erkläre anhand einer Skizze die Riemannsumme, durch die dieses Volumen definiert ist.
   
3. Ein Wasserbehälter hat die Form eines Kegelstumpfes mit folgenden Abmessungen. Sein oberer Durchmesser beträgt 8 Meter, sein unterer Durchmesser beträgt 5 Meter und seine Tiefe beträgt 3 Meter. Berechne die Arbeit, die erforderlich ist, um das Wasser auszupumpen, wenn die Pumpe am oberen Rand des Behälters steht. Erläutere die Terme in der auftretenden Riemann-Summe durch eine Skizze!
   

4. Differentialgleichungen

1. Beim Auflösen von Zucker in Wasser nimmt die Masse N (in Gramm) in Abhängigkeit von der seit Beginn vergangenen Zeit t (in Minuten) ab. Es gilt, , wobei eine konstante Zahl ist. Die Anfangsbedingung ist Masse des aufzulösenden Zuckers.
   a) Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und skizziere den Graphen der Lösung.
   b) Jemand gibt in seine Teetasse 40 Gramm Zucker. Nach 5 Minuten trinkt er den Tee. Zu diesem Zeitpunkt sind noch 7,1 Gramm Zucker nicht aufgelöst. Bestimme die Funktion N(t).
   c) Wie lange muss man mit dem Trinken des Tees warten, wenn 99% des Zuckers aufgelöst sein soll?
   
   
2. Zur Strahlenbehandlung bei Schilddrüsenkrebs wird radioaktives Jod 131 in den Körper injiziert.
   a) Grundsätzlich wird ein radioaktiver Zerfall durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
   Erstelle das Zerfallsgesetz, indem du die Gleichung löst.
   b) Berechne die Halbwertszeit in Tagen ( lambda = 8,6643398.10^-2).
   c) Nach wie vielen Tagen sind noch 90% des radioaktiven Jods vorhanden?
   d) Die Untersuchung findet 48 Stunden nach derVerabreichung des Medikamentes statt. Wie viel Prozent der ursprünglichen Aktivität kann man zu diesem Zeitpunkt annehmen?
   
3. Löse die Differentialgleichung y' = -x/y und gib jene Lösung an, die durch den Punkt P(-4/3) geht. Um welche Art von Kurve handelt es sich?
   

5. Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Die Masse der Packungen des Waschmittels „Persol“ ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=3100g und der Standardabweichung σ=100g.
   a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 3000g Masse besitzt.
   b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung eine Masse von genau 3000g besitzt.
   c) Der Produzent möchte garantieren, dass höchstens 7% aller Packungen um mehr als c Gramm vom Erwartungswert μ=3100g abweichen. Wie muss die Zahl c gewählt werden?
   d) Der Produzent kauft eine neue Abfüllmaschine, um sicherzustellen, dass bei einem unveränderten Erwartungswert μ=3100g höchstens 6% aller Packungen eine Masse von mehr als 3200g besitzen. Welche Standardabweichung darf die Abfüllmaschine haben?
   
   
2. Ein Mathematiklehrer unterrichtet 110 Schüler und weiß aus Erfahrung, dass Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% die Hausübung tatsächlich selber machen. Berechne alle Wahrscheinlichkeiten in diesem Beispiel durch Approximation durch eine geeignete Normalverteilung!
   a) Der Direktor verspricht ihm eine Prämie von 100 Euro, wenn mindestens 90 Schüler die Hausübung selber gemacht haben, sind es jedoch weniger als 70, muss er dem Direktor ein Strafgeld von 5 Euro zahlen. Welche Gewinnerwartung hat man bei diesem „Spiel“. Interpretiere die berechnete Größe sorgfältig.
   b) Der Direktor möchte wissen, wie viele Schüler die Hausübung selber machen. Welche Anzahl (symmetrisch um den Erwartungswert) kann ihm der Mathematiklehrer prognostizieren, wenn er sich seiner Sache zu 85% sicher sein möchte?
   c) Bei einer Kontrolle wird festgestellt, dass 85 Schüler ihre Hausübung selber gemacht haben. Kann man daraus schließen, dass der Anteil der pflichtbewussten Schüler gestiegen ist? Stelle einen geeigneten Test auf, berechne seine Irrtumswahrscheinlichkeit und interpretiere ausführlich diesen Wert.
   
   
3. Im Jahr 2000 hatte die Computerfirma „Digitoll“ einen Marktanteil von 11%.
   a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 400 Computerkäufern mehr als 50 sich für die Marke „Digitoll“ entscheiden.
   b) Nach einer Werbekampagne will man wissen, ob die Firma 2001 Marktanteile gewonnen hat. Es werden 300 Computerkäufer befragt. 40 von den befragten Käufern deklarieren sich für „Digitoll“. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man behaupten, dass die Werbekampagne erfolgreich war? Erkläre diesen Begriff genau.
   c) Auf einer Computermesse, die im Jahr 2000 stattfindet, werden 8000 Besucher erwartet, die auf dieser Messe einen Computer kaufen werden. Wie viele Besucher werden einen Computer der Firma „Digitoll“ kaufen? Bestimme dazu eine minimale bzw. maximale Anzahl symmetrisch um den Erwartungswert, so dass die tatsächliche Anzahl mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen Minimal- und Maximalwert liegt.