Themen der 7.Klasse naturwissenschaftliches ORG

1. Kegelschnitte
2. Integralrechnung
3. Differentialrechnung
4. Differenzengleichungen
5. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kegelschnitte

1. Gegeben sind ein Kreisund eine Gerade.
   a) Zeichne den Kreis und die Gerade und die Kreistangente in einem Schnittpunkt.
   b) Berechne die Schnittpunkte und den Winkel, den die Gerade mit dem Kreis einschließt.
   
2. Gegeben ist eine Ellipse und ein Punkt , der auf der Ellipse liegt
   a) Ermittle die Gleichung jener Hyperbel, die dieselben Brennpunkte wie die Ellipse besitzt und durch den Punkt P geht.
   b) Berechne die Steigungen der Tangenten, die man im Punkt P an die Ellipse und an die Hyperbel legen kann, und zeichne Ellipse, Hyperbel und die beiden Tangenten.
   c) Unter welchem Winkel schneiden die beiden Kurven einander?
   
3. Löse folgende Aufgabe mit Hilfe des TI-89:
   Eine Ellipse hat die große Halbachse a=5 und die kleine Halbachse b=4, von einer Parabel kennt man den Punkt P(12/12). Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven und den Winkel, unter den einander die Kurven schneiden.
   
4. Gegeben sind die Parabelund die Gerade.
   a) Berechne die Schnittpunkte und skizziere die Parabel und die Gerade.
   b) Berechne die Fläche, die von der Parabel und der Geraden eingeschlossen wird.
   

Integralrechnung

1. Berechne mit Hilfe des TI-89 die Fläche, die der Graph der Funktion y= -x³+3x-2 zwischen seinen Nullstellen mit der x-Achse einschließt.
   
2. Betrachte die Funktionauf dem Intervall [1;3]
   a) Teile das Intervall in n=2 Teilintervalle und berechne die Untersumme s₂ und die Obersumme S₂.
   b) Teile das Intervall in n=8 Teilintervalle und berechne die Untersumme s₈ und die Obersumme S₈.
   c) Berechne mit Hilfe einer Stammfunktion den genauen Wert des bestimmten Integrals .
   
3. Die Anziehungskraft F(x) zweier Körper mit den Massen m und M und einem Abstand x ist durch das Gravitationsgesetz gegeben, wobei . Ein Satellit mit einer Masse von 5000kg wird in eine Umlaufbahn geschossen, die sich 7000km über der Erdoberfläche befindet.

   a) Berechne die notwendige Hebearbeit mit Hilfe eines Integrals. (Erdmasse=5,974.10²⁴kg; Erdradius=6378km). Erläutere die auftretende Riemann-Summe durch eine Skizze!
   b) Berechne die Bahngeschwindigkeit, die kinetische Energie und die Gesamtenergie des Satelliten. Wie groß ist daher die Mindestgeschwindigkeit beim Start?
   c) Wie groß wäre die notwendige Hebearbeit und die entsprechende Mindestgeschwindigkeit beim Start, wenn der Satellit den Einflussbereich der Erde verlassen soll? Gib den prozentuellen Anteil der in a) berechneten Hebearbeit an dieser Hebearbeit an!
   
   

Differentialrechnung

1. Der Nitratgehalt einer Ackerfläche wird durch die Funktion n(t) angegeben, wobei t die Zeitspanne in Wochen ab einem bestimmten Stichtag ist. Zu diesem Stichtag beträgt der Nitratgehalt 10mg/m². Durch wöchentliche Düngung erhöht sich der Nitratgehalt jeweils um 20mg/m². Andererseits wird das Nitrat durch Umwelteinflüsse abgebaut. Dies geschieht nach der Formel . Erstelle eine Differentialgleichung und bestimme ihre Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung. Skizziere die Lösungsfunktion und gib den Nitratgehalt an, der langfristig zu erwarten ist.
   

Differenzengleichungen

1. Berechne x₂ und x₃,löse die Differenzengleichung und überprüfe die Lösungsfunktion.
   mit der Anfangsbedingung und
   
2. Berechne x₂ und x₃, löse die Differenzengleichung und überprüfe die Lösungsfunktion.
   mit der Anfangsbedingung und
   
3. Ein Wirtschaftsmodell beschreibt die Entwicklung des Volkseinkommens durch die Gleichung . Das Volkseinkommen in den ersten beiden Jahren beträgt und , die Parameter sind und . Berechne den Gleichgewichtspunkt, ermittle die Lösungsfunktion und untersuche ihr Grenzverhalten.
   
4. Bestimme die Lösung des folgenden Systems mit den Anfangsbedingungen , und :
   

Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Ein Buch mit 400 Seiten enthält 100 zufällig verteilte Druckfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer zufällig gewählten Seite
   1. keinen Fehler zu finden.
   2. genau einen Druckfehler zu finden.
   3. mindestens 2 Druckfehler zu finden.
   4. mehr als 5 Druckfehler zu finden.
   
   
2. Die Masse der Packungen des Waschmittels „Persol“ ist normalverteilt mit dem Erwartungswert =3100g und der Standardabweichung =100g.

   1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 3000g Masse besitzt.
   2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung eine Masse von genau 3000g besitzt.
   3. Der Produzent möchte garantieren, dass höchstens 7% aller Packungen um mehr als c Gramm vom Erwartungswert abweichen. Wie muss die Zahl c gewählt werden?
   4. Der Produzent kauft eine neue Abfüllmaschine, um sicherzustellen,dass bei einem unveränderten Erwartungswert =3100g höchstens 6% aller Packungen eine Masse von mehr als 3200g besitzen. Welche Standardabweichung darf die Abfüllmaschine haben?

   
   
3. Der Raucheranteil in der Gruppe der 16 – 20-jährigen ist 35%.

   1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 15 Jugendlichen mehr als 7 rauchen.
   2. In der 7dn einer Schule sind 12 Schüler, von denen nur zwei rauchen. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man daraus den Schluss ziehen, der Raucheranteil läge unter 35%?
   3. Die Tabakindustrie möchte den Raucheranteil erhöhen. Nach einer Werbekampagne sollen 2000 Jugendliche befragt werden. Konstruiere einen geeigneten, signifikanten Test und erkläre genau seine Bedeutung.

   
   


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