Themen der 7. Klasse

1. Komplexe Zahlen
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung
3. Differentialrechnung
4. Extremwertaufgaben
5. Kegelschnitte
6. Lineare und exponentielle Modelle

Komplexe Zahlen

1. Löse die Gleichung und führe für eine Lösung die Probe durch:
   
2. Berechne mit Hilfe der Polarform die 8.Potenz von und stelle das Ergebnis in Binomialdarstellung dar.
   
3. Berechne mit Hilfe der Polarform die 8.Potenz von und stelle das Ergebnis in Binomialdarstellung dar.
   
4. Berechne die 4-ten Wurzeln von z=81 und gib sie in der Form a+bi an. Stelle sie weiters in der Gauß’schen Zahlenebene dar.
   

Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. In einer Urne liegen 5 gleichartige Kugeln mit der Beschriftung „B“, „A“,„W“,„A“ und „G“. Man zieht 5mal je eine Kugel ohne Zurücklegen. Der Einsatz beträgt 1 Euro. Zieht man das Wort „BAWAG“, erhält man 60Euro, ansonsten verliert man den Einsatz. Wie groß ist die Gewinnchance für einen Spieler? Wie viel wird bei 3000 Spielen voraussichtlich an Gewinnen ausbezahlt, wie viel an Einsätzen eingenommen? Ist das Spiel fair?
   
2. Beim Spiel „8 aus 17" gilt es , aus den Zahlen 1 bis 17 die richtigen 8 zu erraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen „8-er“ bzw. für einen „7-er“.
   
3. Von der 7c-Klasse (gesamt 16 Schüler) werden drei Schüler für einen Wettbewerb zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Georg zu den ausgewählten Schülern gehört?
   
4. Für ein Omelett werden drei Eier benötigt. Unter den zehn Eiern im Kühlschrank sind drei Eier faul. Es sei X die Anzahl der ausgewählten Eier, die in Ordnung sind.
   a) Berechne die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
   b) Berechne den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X.
   c) Interpretiere die in b) berechneten Zahlen.
   
5. Bei einer Lotterie gibt es 100 Lose. Ein Los gewinnt den 1.Preis mit 50 Euro, zehn Lose gewinnen 2.Preise mit je 5 Euro, die restlichen Lose sind Nieten. Gabi kauft zwei Lose. Berechne für alle möglichen Ereignisse die Wahrscheinlichkeit. Welchen Gewinn darf Gabi erwarten?
   
6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf Seite 7 eines 320 Seiten starken Buches weniger als 2 Fehler sind, wenn das Buch insgesamt 80 Druckfehler enthält, die zufällig auf den Seiten verteilt sind?
   
7. Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem Ausschußanteil von 9%. Um zu überprüfen, ob der Ausschuss der Maschine möglicherweise größer geworden ist, werden 60 Werkstücke untersucht. Wenn mehr als 10 nicht in Ordnung sind, glaubt man, dass der Ausschuss der Maschine größer geworden ist. Berechne die Irrtumswahrscheinlichkeit dieses Tests und erkläre ausführlich ihre Bedeutung.
   
8. In einer Urne liegen 12 Kugeln: 8 rote und 4 blaue. Es werden zufällig 7 Kugeln (mit Zurücklegen) gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 blaue Kugeln gezogen werden?
   
9. Erfahrungsgemäß sind 10% aller U-Bahn Benützer Schwarzfahrer. Ein Kontrolleur überprüft ein Abteil mit 25 Fahrgästen.
   a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
   * genau 3
   * mindestens 3, aber höchstens 5
   * mindestens 2
   Schwarzfahrer sind?
   b) Wie viele Personen muss der Kontrolleur mindestens kontrollieren,um mit 80% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Schwarzfahrer zu erwischen.
   
10. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler der 7c-Klasse (16 Schüler) die Mathematik Hausübung ordnungsgemäß durchführt, ist erfahrungsgemäß 70%. Der Lehrer glaubt, dass dieser Prozentsatz kleiner geworden ist, weil bei der nächsten Kontrolle der Hausübung weniger als 10 Hefte seinen Vorstellungen entsprechen. Berechne die Irrtumswahrscheinlichkeit dieses Tests und erkläre ausführlich ihre Bedeutung.
    
11. Eine Zeitung behauptet, dass 25% aller jugendlichen PKW-Lenker nach einem Disco Besuch alkoholisiert ihr Fahrzeug lenken. Ein Test mit Signifikanzniveau 96% soll überprüfen, ob dieser Prozentsatz wirklich so groß ist. Man kontrolliert dazu 40 PKW-Lenker. Ermittle den kritischen Bereich dieses Tests und erkläre seine genaue Bedeutung in diesem Beispiel.
    

Differentialrechnung

1. Eine Kugel wird lotrecht nach oben geschlossen. Für ihre Höhe t Sekunden nach dem Start gilt
   a) Bestimme die mittlere Geschwindigkeit in den ersten zwei Stunden.
   b) Bestimme die Momentangeschwindigkeit nach eine Sekunde.
   c) Bestimme die Gleichförmige Bewegung, die die Bewegung der Kugel zum Zeitpunkt t=1 am besten approximiert.
   d) Stelle die Bewegung der Kugel in einem s-t-Diagramm dar (Skizze)und erkläre mit Hilfe dieser Skizze die in a) und b) berechneten Größen.
   e) Wann erreicht die Kugel ihren höchsten Punkt?
   
2. Ein Experte schätzt, dass die Länge (in m) eines bestimmten Gletschers nach t Jahren (von heute an gerechnet) ungefähr durch die Formel L(t) = 0,5.(t - 90)² gegeben ist.
   a) Berechne die mittlere Änderungsrate in den nächsten 30 Jahren!
   b) Nach wie vielen Jahren wird der Gletscher verschwunden sein?
   c) Berechne die Abnahmegeschwindigkeit (momentane Änderungsrate) nach 20 und nach 40 Jahren.
   
3. Gegeben ist die Funktion f(x) = x² + 4x + 3.
   Stelle die Gleichung der Tangente im Punkt P(-1/y) auf.
   
4. In welchen Punkten des Funktionsgraphen von ist der Steigungswinkel 45°?
   
5. Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion Welche besondere Bedeutung hat die Wendetangente?
   
6. Gib die beiden Bedingungen für einen Hochpunkt an und erläutere sie durch eine Skizze.
   
7. Bestimme die Nullstellen, Extrempunkte und den Wendepunkt der Funktion und skizziere mit Hilfe dieser Punkte den Funktionsverlauf.
   
8. Ein Polynom 3.Grades hat den Wendepunkt W(-1/y), die Wendetangente tw:3x-2y=-1 und an der Stelle x=1 einen Extrempunkt. Bestimme die Funktionsgleichung.
   
9. Der Graph der Funktion y=(ax²+bx)/(x+1)² hat den Tiefpunkt T(0,5/-0,33..). Bestimme die Funktionsgleichung.
   
10. Der Graph der Polynomfunktion vom Grad 4 berührt in x=2 die x-Achse. Der Koordinatenursprung ist Wendepunkt und die Wendetangente ist parallel zur Geraden g: y=-2x+3.
    Ermittle die Funktionsgleichung. Berechne die Krümmung bei x=3.
    
11. Gegeben ist die Funktion
    a) Berechne die erste und zweite Ableitung.
    b) Bestimme Df, die vertikale Asymptote und die Nullstellen.
    c) Bestimme die Extrempunkte der Funktion.
    d) Bestimme die schräge Asymptote und gib an, wo die Krümmung des Graphen positiv ist.
    

Extremwertaufgaben

1. Welche Abmessungen muss man einem Kochtopf von 1 Liter Fassungsvermögen geben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material erforderlich ist?
   
2. Einem Halbkreis mit dem Radius r=5cm wird ein gleichschenkeliges Dreieck so eingeschrieben, dass die Spitze des Dreiecks im Kreismittelpunkt liegt. Wie groß müssen die Basis und die Höhe des Dreiecks sein, damit der Flächeninhalt maximal wird?
   
3. Einem Zylinder (r,h) werden quadratische Pyramiden (a,H) umgeschrieben. Bestimme die Abmessungen der Pyramide mit minimalem Volumen und das Verhältnis der Volumina der beiden Körper.
   
4. Es soll eine gerade Hauptleitung von A aus verlegt werden, die sich in X in zwei Nebenleitungen aufspaltet, die zu zwei Orten B und C führen (siehe Skizze). Die Baukosten für die Hauptleitung betragen 18000S/km, für die Nebenleitungen 12000S/km. Wo muss der Punkt X gewählt werden, damit die Gesamtkosten minimal sind? (keine 2. Ableitung)
   
   
5. Eine Gasflasche mit dem Volumen hat die Gestalt eines Zylinders, auf den auf einer Seite eine Halbkugel aufgesetzt ist.
   a) Wie groß sind der Radius und die Höhe zu wählen, wenn der Materialverbrauch (Oberfläche) minimal werden soll?
   
6. Eine Futtermittelfirma erzeugt wöchentlich x Paletten zu einem Preis p (in Euro). Für die Nachfragefunktion gilt p(x) =2800-7x. Die Gesamtkosten für eine Woche betragen K(x)=x2+800x+50000.
   a) Welche Fixkosten hat die Firma pro Woche? Bestimme die Sättigungsmenge und den Höchstpreis und erkläre diese Begriffe.
   b) Bei welcher Wochenproduktion hat die Firma den größten Ertrag? Wie groß ist der Ertrag und der bei dieser Produktion anfallende Gewinn?
   c) Wie darf die Firma den Preis einer Palette festlegen, damit sie Gewinn macht? Mache eine Skizze der Gewinnfunktion.
   d) Bei welcher Wochenproduktion ist die Elastizität des Umsatzes gleich 4? Welchen Preis hat das Futtermittel in diesem Fall? Was bedeutet es, wenn die Elastizität des Umsatzes gleich 4 ist?
   

Kegelschnitte

1. Von einer Ellipse kennt man die lineare Exzentrizität e=3cm und den Punkt X(3/3,2).
   a) Bestimme die Gleichung der Ellipse.
   b)Wie lautet die allgemeine Gleichung des Kreises k mit Mittelpunkt X, der durch den Punkt P(0/4) geht?
   
2. a) Von einer Ellipse kennt man die Brennpunkte F1 (-4/0) und F2 (4/0) und einen Punkt X (4/1,8). Ermittle die Gleichung der Ellipse.
   b) Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Kreises x2+y2+3,2y=22,44 und zeichne den Kreis und die Ellipse..
   c) Bestimme die Schnittpunkte von Kreis und Ellipse. (4 Punkte)
   d) Bestimme den Schnittwinkel der beiden Kurven im 1. Quadranten.
   
3. a)Von einer Hyperbel sind die Gleichungen der Asymptoten u1 : 3x-4y=0, u2 : 3x+4y=0 , und ein Punkt X (5,2/3,6) gegeben. Ermittle die Gleichung der Hyperbel.
   b) Berechne die Gleichung der Tangente im Punkt X der Hyperbel. In welchem Punkt P(0/y) schneidet die Tangente die y-Achse? (5 Punkte)
   c) Zeichne die Hyperbel, die Tangente und das Dreieck PF2X.
   freiwilliger Zusatz: Berechne die Fläche des Dreiecks PF2X.
   
4. Die Bahn des Planeten Saturn um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne als einen Brennpunkt. Die große Halbachse beträgt a = 9,54 AE (AE = astronomische Einheit), das Verhältnis e : a = 0,056.
   Berechne die kleine Halbachse und die größte und kleinste Entfernung von der Sonne.
   

Lineare und exponentielle Modelle

1. Die Population einer bestimmten Tierart nimmt ab. Im Jahr 2000 betrug die Population noch ca. 10000 Stück, ein Jahr später nur mehr 9850.
   a) Gib Gleichungen an, um die Anzahl der Tiere nach x Jahren berechnen zu können. Nimm dazu eine lineare bzw. eine exponentielle Entwicklung an.
   b) Nach einem der beiden Modelle müsste die Tierart aussterben. Berechne, wann dies der Fall wäre. Rechne aus, wie viele Tiere es zu diesem Zeitpunkt nach dem anderen Modell gäbe.