Themen der 5. Klasse

1. Terme
2. Binomische Formeln
3. Gleitkommadarstellung
4. Lineare Modelle
5. Gleichungssysteme
6. Lineare Funktion
7. Quadratische Funktion
8. Statistik
9. Dreieck
10. Pyramide
11. Parallelogramm
12. Polynome

Terme

1. Vereinfache T(x) so weit wie möglich und stelle fest, ob T(x) zum Ergebnis äquivalent ist:
   
   
   
2. Vereinfache T(x) so weit wie möglich und stelle fest, ob T(x) zum Ergebnis äquivalent ist:
   
   
   

Binomische Formeln

1. (3x-5)(3x+5)+(4x-1)²-(5x+2)²=
   
   

Gleitkommadarstellung

1. Um weltweit sauberes Wasser verfügbar zu machen, müsste jeder Österreicher (gesamt 8 Millionen) 52500 S zahlen.
   a)Wieviel ist das insgesamt?
   b) Wieviel müsste jeder Engländer (gesamt 46 Millionen) für diesen Zweck zahlen?
   Rechne mit Gleitkommazahlen und schreibe alle Rechnungen in das Heft!
   
   
2. Jeder österreichische Haushalt (gesamt 2,5 Millionen) spendet jährlich 5 500 S.
   a) Wieviel ist das insgesamt?
   b) Wieviel müsste jeder von den 17 Millionen englischen Haushalten spenden, damit dieselbe Summe zustandekommt?
   Rechne mit Gleitkommazahlen und schreibe alle Rechnungen in das Heft!
   
   

Lineare Modelle

1. Ein Angestellter verdient beim Eintritt in eine Firma 18 000 S monatlich, nach 4 Jahren bekommt er 21 000 S monatlich.
   a) Stelle ein lineares Modell auf, welches den Zusammenhang der Dauer der Firmenzugehörigkeit mit dem Monatsverdienst angibt.
   b) Stelle das lineare Modell in einem Diagramm dar (bis zu einer Firmenzugehörigkeit von 15 Jahren).
   c) Welches Einkommen kann der Angestellte erwarten, wenn er 10 Jahre bei dieser Firma arbeitet?
   d) Nach wie vielen Jahren bei dieser Firma wird der Angestellte 30 000 S monatlich verdienen?
   
   

Gleichungssysteme

1. Löse folgende Gleichungssysteme bzw. stelle fest, welcher Lösungsfall vorliegt:
   a) und
   b) und
   
   

Lineare Funktion

1. In Indien gab es 1993 820 Millionen Menschen, 1998 880 MillionenMenschen.
   a) Beschreibe die Bevölkerungsentwicklung durch eine lineare Funktion (x=0  1990). Was bedeuten die beiden Variablen x und y? [y=12x+784]
   b) Welche Bedeutung haben k und d in diesem Beispiel?
   c) Gib eine Prognose für die Bevölkerungszahl im Jahr 2002.
   
   
2. In China gab es 1993 1114 Millionen Menschen, 1998 1159 Millionen Menschen.
   a)Beschreibe die Bevölkerungsentwicklung durch eine lineare Funktion (x=0 1990).
   Was bedeuten die beiden Variablen x und y? [y=9x+1087]
   b)Welche Bedeutung haben k und d in diesem Beispiel?
   c)Gib eine Prognose für die Bevölkerungszahl im Jahr 2003.
   
   

Quadratische Funktion

1. Der Benzinverbrauch eines Kleinwagens ist bei einer mittleren Geschwindigkeit von 70 km/h 3,16 Liter/100km, bei 100km/h 4 Liter/100km und bei 150km/h 7 Liter/100km.
   a) Beschreibe die Abhängigkeit des Benzinverbrauches von der mittleren Geschwindigkeit durch eine quadratische Funktion.
   [y= 0,0004x² - 0,04x + 4]
   b) Skizziere die Funktion und lege die Grenzen des mathematischen Modells fest.
   c) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Benzinverbrauch minimal? Wie groß ist dieser minimale Verbrauch?
   d) Bei welcher Geschwindigkeit verbraucht der Kleinwagen 5 Liter/100km?
   
   
2. Gegeben sind die quadratische Funktion f: y = 0,5x² - 4x +6,5 und der Punkt P(3/-3).
   a) Ermittle die Gleichungen der Tangenten t₁ und t₂, die man vom Punkt P an die Parabel f legen kann.
   b) Bestimme die Berührpunkte T₁ und T₂ der beiden Tangenten.
   
   
3. f:y=x³-3x²-3,75x+2,5
   a) Bestimme die Nullstellen, die Extrempunkte und den Wendepunkt.
   b) Skizziere den Funktionsgraphen.
   c) Stelle fest, in welchem Intervall die Steigung der Funktion zunimmt.
   d) Welche Eigenschaft hat die Steigung der Funktion im Wendepunkt?
   
   

Statistik

1. In einer Kindergruppe wird das Alter der Kinder erhoben: 4,5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12,13.
   a) Berechne das arithmetische Mittel und die Standardabweichung.
   b) Führe eine Klasseneinteilung durch, zeichne die Dichtefunktion und schreibe die formale Definition der Dichtefunktion auf.
   
   
2. In einer Jugendgruppe wird das Alter der Jugendlichen erhoben: 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20.
   a) Berechne den Median und die mittlere absolute Abweichung.
   b) Führe eine Klasseneinteilung durch, zeichne die Verteilungsfunktion und schreibe die formale Definition der Verteilungsfunktion auf.
   
   

Dreieck

1. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(-4/-1), B(4/-1) und C(3/6).
   a) Zeichne das Dreieck ABC, die Seitensymmetralen s_AB und s_AC und den Umkreismittelpunkt U.
   b) Bestimme die Geradengleichungen für die Seitensymmetralen s_AB und s_AC .
   c) Ermittle rechnerisch den Umkreismittelpunkt U und den Umkreisradius r.
   
   

Pyramide

1. Von einer quadratischen Pyramide kennt man die Punkte A(5,5/-2/4), B(7/2/1,5), C(2,5/4/z_C) und die Spitze S(5/1/6).
   a) Bestimme z_C und den Punkt D.
   b) Zeichne die Pyramide in Grund- und Aufriss.
   
   

Parallelogramm

1. Von einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte A(-3/1), B(3/-2) und D(-1,5/4) gegeben.
   a) Mache eine Zeichnung und ermittle rechnerisch den fehlenden Punkt C.
   b) Stelle eine Vermutung auf, ob dieses Parallelogramm sogar ein Rechteck oder eine Raute ist und beweise deine Vermutung.
   c) Berechne den Umfang!
   
   
2. Von einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte A(-1/-0,5), B(3/-3,5) und C(3/1,5) gegeben.
   a) Mache eine Zeichnung und ermittle rechnerisch den fehlenden Punkt D.
   b) Stelle eine Vermutung auf, ob dieses Parallelogramm sogar ein Rechteck oder eine Raute ist und beweise deine Vermutung.
   c) Berechne den Umfang!
   
   

Polynome

1. a) Zerlege das Polynom in seine Linearfaktoren.
   b) Zerlege das Polynom in seine Linearfaktoren.
   
   
2. a) Zerlege das Polynom in seine Linearfaktoren.
   b) Zerlege das Polynom in seine Linearfaktoren.